答案是125 mm±0.224 mm。并且也會(huì)是正態(tài)分布。以125作為中心，125.224與124.776的位置發(fā)生幾率恰好是e^-2。

換句話說(shuō)，整個(gè)系統(tǒng)的總厚度：

1. 也是正態(tài)分布。

2. 正態(tài)分布中心剛好是每塊木板的各自幾率分布的中心的總合：5+5+5+5+5=125。

3. 整個(gè)系統(tǒng)正態(tài)分布幾率為e^-2的地方，會(huì)是每塊木板各自正態(tài)分布為e^-2時(shí)的偏差值 (deviation) 各自平方后、再加和、再開(kāi)根號(hào)，也就是所謂的平方和的根 ( RSS, Root Sum Square)，你可以在Excel中輸入這右邊這串計(jì)算來(lái)驗(yàn)證：sqrt(0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2)。答案正是0.224。

詳細(xì)的證明可以參考Wiki的說(shuō)明：https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables

解讀與假設(shè)

看到這里就能理解，平方和的根的偏差 (RSS Deviation) 代表的是整個(gè)系統(tǒng)最終落在這個(gè)范圍內(nèi)的幾率是95.4%。以前面的例子來(lái)說(shuō)，最終五片木板的厚度落在正負(fù)0.224范圍內(nèi)的幾率是95.4%。

必須注意的是，這樣的估計(jì)方式有兩個(gè)重要假設(shè)：

1. 每個(gè)變量的影響都是正態(tài)分布。

例如前面例子中每個(gè)木板的厚度都是正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差是0.05。(注意前面說(shuō)的正負(fù)0.1是標(biāo)準(zhǔn)差的兩倍，也就是2 sigma)

2. 變量之間的關(guān)系是互相獨(dú)立的。

每一片木板的厚度變化對(duì)整體厚度的影響不會(huì)受到其他木板的影響。木板a偏差+0.03，不論木板b偏差是-0.07還是0.01或其他數(shù)字，木板a對(duì)整體系統(tǒng)的影響就是+0.03，不會(huì)受到其他變數(shù)大小影響。

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綜上，回到我們的OpticStudio公差分析。

在看估算改變量 (Estimated Change) 時(shí)，我們應(yīng)該說(shuō)，如果各個(gè)公差都符合正態(tài)分布與變量互相獨(dú)立的假設(shè)，則代表統(tǒng)計(jì)上最終會(huì)有95.4%的系統(tǒng)，他們距離標(biāo)稱(chēng)值，或說(shuō)原始設(shè)計(jì)值 (Nomial) 的偏差 (Criterion) 都小于估算改變量 (Estimated Change)。

而對(duì)于預(yù)估性能改變量 (Estimated Performance ) (可能是RMS Spot Size或其他你設(shè)定的值)，我們則可以說(shuō)，95.4%以上的系統(tǒng)，他們的效能都會(huì)比這個(gè)數(shù)值還要 “好”。這就是為什么我們說(shuō)蒙特卡羅 (Monte Carlo) 分析時(shí)，很少系統(tǒng)會(huì)比這個(gè)數(shù)值還差，并且可以把RSS Performance當(dāng)作最差系統(tǒng)的原因。

范例驗(yàn)證

讓我們打開(kāi)一個(gè)內(nèi)置范例來(lái)驗(yàn)證：ZemaxSamplesSequentialObjectivesCooke 40 degree field.zmx。