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    [分享]半解析快速傅里葉變換 [復(fù)制鏈接]

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    只看樓主 倒序閱讀 樓主  發(fā)表于: 2021-03-31
    我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。 < ht >>  
     e\yj>tQJg  
    1.簡介 $35Oyd3s<  
     ]ei] ) JI  
    物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。 1c}'o*K_%  
     8U;!1!+ 7)  
    2.理論 qWanr7n]@  
    2.1 場的表征：提取二次相位 Rw/G =zV@2  
     Xrz0ch  
    我們從空間域的符號(hào)開始，在本文中我們使用符號(hào)對應(yīng)6個(gè)場分量，也就是V = (E, H)： [")0{LSA=  
     PN.6BJvu  
    ItRGq  
    (1) 92SB'T>  
    在公式1中，我們假設(shè)場有兩部分：衍射場和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出： {xH \!!"T  
    s]I],>}RU  
    (2)
    顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場比余項(xiàng)場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過FFT且無二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。 mdZELRu  
     <5X@r#Lz  
    2.2.半解析傅里葉變換 .1pEq~>  
     $< aBawLZO  
    從卷積定理可知： r! M2H {  
    P\M+Z A ;  
    (3) ;=7z!:)  
    通常來說，項(xiàng)必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知： )T4L^^`  
    Qb|dp~K.M  
    (4) h)<R#xw  
    適用于任何復(fù)，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。 fC-^[Af)  
    在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來： RhJ<<T.2  
                         (5)
    其中： 6 %=BYDF  
                          (6)
    其中常數(shù)項(xiàng)。 tS9m8(Hr%Q  
    將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)可以表示為： 7d<v\=J}  
    (7)
    其中： 1]<!Xuk^f  
    (8)
    這里， 和坐標(biāo)項(xiàng)。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場的FFT可被兩個(gè)余項(xiàng)場的FFT替代。 W+eN%w5  
     +/X'QB$R  
    3.數(shù)值仿真 g|zK%tR_P  
     [_0g^(`  
    這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計(jì)軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現(xiàn)。 SH(kUL5  
     I,S'zHR  
    3.1.有效性測試1：純二次相位 KF'M4P  
     ~3%3{a a  
    在第一組測試中，我們準(zhǔn)備了余項(xiàng)場，其幅度信息如圖1所示，且相位為零。我們將不同的二次相位項(xiàng)exp(iψq(ρ))與之相乘，組成。然后我們分別對全場應(yīng)用FFT和半解析FFT。 Z\L@5.*ydE  
    j*zK"n  
    b1#=q0Zl  
    圖2展示了不同情況下FFT和半解析FFT所需的采樣點(diǎn)�？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)場有強(qiáng)二次相位時(shí)，半解析FFT需要比FFT少得多的抽樣點(diǎn)。 J#kdyBmuO  
    toWmm(7v  
    '-vy Q^  
    在圖3中我們給出了三個(gè)典型位置的角頻譜的振幅。解釋了波陣面相位的物理意義，因此當(dāng)波陣面相位非常小時(shí)，在FT中衍射效應(yīng)占主導(dǎo)地位。否則，當(dāng)波陣面相位增加時(shí)，F(xiàn)T展現(xiàn)了越來越多的幾何特征。 Gw./qu-W  
    Z~uKT n  
    3.2 有效性測試2：球形相位 ]M2<I#hF.  
    在第二組中，我們將乘上另一種相位：球形相位 。 ]/bE${W*]  
    不像測試1，我們只能用解析方法處理二次部分而不能處理整個(gè)球形相位。所以，余項(xiàng)場的相位不再是零而是球形和二次相位之間的差值，并且它會(huì)隨著球半徑r的減小而越來越大。 wgyO%  
    不同情況下FFT和半解析FFT的抽樣點(diǎn)于圖4給出。結(jié)果顯示在強(qiáng)球形相位情況下，由于相位差，需要更多的抽樣點(diǎn)，這導(dǎo)致了半解析FT的抽樣數(shù)量同樣增加了。 `[KhG)Y7t  
    QdTe!f|  
    1+jYpYEQW  
    4.結(jié)論 d.AjH9 jg  
    我們論證了半解析FFT的推導(dǎo)并且展示了幾個(gè)數(shù)值例子。事實(shí)表明，半解析FFT的采樣僅取決于余項(xiàng)場。在波陣面相位較強(qiáng)的場中，半解析FFT需要的采樣點(diǎn)明顯較少。 K[[k,W]qb  
     p[)<d_  
    參考文獻(xiàn) <C77_t  
    [1] E. O. Brigham, “The fast Fourier transform and its applications.” (1988). @>]3xHE6#=  
    [2] L. Mandel and E. Wolf, Optical coherence and quantum optics (Cambridge university press, 1995). ]Yg EnZ  
    [3] “Wyrowski VirtualLab Fusion, developed by Wyrowski Photonics UG, distributed by LightTrans GmbH,”. h7$!wf!I  
    ~Z2eQx jtM  
     KV_Ga8hs  
    QQ：2987619807 !cb#fl  
     
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