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[技術(shù)]半解析快速傅里葉變換 [復(fù)制鏈接]

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只看樓主倒序閱讀樓主發(fā)表于: 2023-07-19

我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項式相位項的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。

1.簡介

物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計算量與場分量復(fù)振幅所需采樣點的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計算工作，甚至在FFT中也是如此。

2.理論
2.1 場的表征：提取二次相位

我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號

對應(yīng)6個場分量，也就是V = (E, H)：

(1)

在公式1中，我們假設(shè)場

有兩部分：衍射場

和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認為是余項場

。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：

(2)

顯然，在強二次相位情況中，全場

比余項場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過FFT且無二次相位項exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計算V(ρ)的傅里葉變換。

2.2.半解析傅里葉變換

從卷積定理可知：

(3)

通常來說，項

必須進行數(shù)值計算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知：

(4)

適用于任何復(fù)

，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來：

(5)

其中：

(6)

其中常數(shù)項

。
將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)

可以表示為：

(7)

其中：

(8)

這里，

和坐標(biāo)項

。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達式。它表示全場的FFT可被兩個余項場的FFT替代。

3.數(shù)值仿真

這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計軟件Wyrowski VirtualLab Fusion[3]中實現(xiàn)。

3.1.有效性測試1：純二次相位

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