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[技術(shù)]半解析快速傅里葉變換 [復(fù)制鏈接]

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只看樓主倒序閱讀樓主發(fā)表于: 2023-07-19

我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。

1.簡(jiǎn)介

物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場(chǎng)分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場(chǎng)分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。

2.理論
2.1 場(chǎng)的表征：提取二次相位

我們從空間域的符號(hào)開始，在本文中我們使用符號(hào)

對(duì)應(yīng)6個(gè)場(chǎng)分量，也就是V = (E, H)：

(1)

在公式1中，我們假設(shè)場(chǎng)

有兩部分：衍射場(chǎng)

和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對(duì)于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場(chǎng)

。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：

(2)

顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場(chǎng)

比余項(xiàng)場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過(guò)FFT且無(wú)二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。

2.2.半解析傅里葉變換

從卷積定理可知：

(3)

通常來(lái)說(shuō)，項(xiàng)

必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知：

(4)

適用于任何復(fù)

，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來(lái)：

(5)

其中：

(6)

其中常數(shù)項(xiàng)

。
將公式5帶入公式3，通過(guò)改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)

可以表示為：

(7)

其中：

(8)

這里，

和坐標(biāo)項(xiàng)

。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場(chǎng)的FFT可被兩個(gè)余項(xiàng)場(chǎng)的FFT替代。

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