本文介紹了模擬光在均勻介質(zhì)中傳播的四種快速而嚴(yán)格的方法。結(jié)果表明，在自由空間傳播中，對光滑強相位項的解析處理在減少計算量方面是非常有效的。因此，在不限制快速傅里葉變換算法應(yīng)用的情況下，我們重新設(shè)計了平面波角譜（SPW）算子來處理線性、球形和一般光滑相位項。特別是對于非傍軸場傳播，所提出的技術(shù)可以顯著地減少所需的采樣點數(shù)量。數(shù)值結(jié)果表明了新方法的有效性和準(zhǔn)確性。 :>@6\  
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一.文章介紹 #>I*c_-  
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光學(xué)建模與設(shè)計是研究與開發(fā)中極其重要的一部分。由于人們對高質(zhì)量光學(xué)系統(tǒng)（包括衍射光學(xué)和微光學(xué)、散射物體和部分相干源）的需求日益增加，基于幾何光學(xué)和物理光學(xué)相結(jié)合的模擬方法，即場追跡變得非常重要。這種模擬技術(shù)的一個重要部分是諧波場在均勻介質(zhì)中的傳播。然而，能夠快速、準(zhǔn)確地模擬一般光場在自由空間中的傳播仍然是一項具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。常用的算法只能做到快速或者只是準(zhǔn)確。 5"x=kp>!d  
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在本文中，我們沒有進(jìn)一步的物理近似，介紹了四種新的算法，基于平面波（SPW）算子的角譜，有效地計算包含平滑但強相位項的非傍軸矢量光場的傳播。根據(jù)光滑相位項的形狀，可以使用不同的傳播算子。它們的共同點是避免了光滑相位項指數(shù)函數(shù)的采樣。相反，平滑相位項是解析處理的，只需對殘差進(jìn)行采樣即可執(zhí)行傳播操作；因此，稱為半解析傳播技術(shù)。 AKKp-I5  
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首先，在第二節(jié)中我們給出一個問題的描述并引入數(shù)學(xué)符號。然后，在第3節(jié)中，我們考慮了一個球面相位項，Mansuripur[6]為此引入了一種嚴(yán)格的技術(shù)，稱為使用快速傅里葉變換（FFT）的擴展菲涅耳衍射積分。在本節(jié)中，通過應(yīng)用Van der Avoort等人最初使用的數(shù)值合適的拋物線擬合技術(shù)改進(jìn)了該概念。在另一種情況下[7]，詳細(xì)討論了擴展菲涅耳算子在數(shù)值上可行的參數(shù)空間。此外，我們還介紹了擴展的菲涅耳算符的快速反演方法，用于快速計算非傍軸場到焦點區(qū)域的傳播。 O'<5PwhG  
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在第四節(jié)中，我們描述了一個用于光場快速傳播的半解析SPW算子，它包含一個光滑的線性相位項。該方法基于線性相位項和橫向偏移量的解析處理。之后，我們將這兩種技術(shù)結(jié)合起來，得到了一個數(shù)值有效的半解析SPW算子，它能夠同時解析地處理線性和球形相位項。 i|- 
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最后，在第6節(jié)中，我們通過將光場分解成具有平滑線性相位項的子光場，將半解析SPW算子概念推廣到平滑相位的通用形狀。在目標(biāo)平面上，所有傳播子光場被相干地相加，其中解析已知的平滑線性相位項以數(shù)值有效的方式使用第7節(jié)中介紹的逆拋物面分解技術(shù)（PDT）進(jìn)行處理。數(shù)值結(jié)果證明了新的傳播方法的有效性和準(zhǔn)確性。所有的模擬都是用光學(xué)軟件VirtualLab完成的。 r2KfZ>tWg"  
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二.均勻介質(zhì)中的場追跡 4G:?U6  
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在光場追跡法中，光在線性、均勻和各向同性介質(zhì)中快速而精確的傳播是由諧波場的概念處理的。結(jié)果表明，任何電磁場都可以分解為一組諧波場[8,9]。在空間頻率域中，以特定角頻率ω0振蕩的單次諧波場定義為 4|?y [j6  
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(1) Z6.0X{6nA  
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用位置向量

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和角頻率ω分別表示。請注意，下列理論是完全矢量的，因為在式（1）中，諧波場分量代表三個電場分量和三個磁場分量，由于計算效率高，常用的諧波傳播技術(shù)基于FFT算法[10]。一種嚴(yán)格的傳播技術(shù)是SPW算子[5]，其中各諧波場分量的復(fù)振幅在與傳播方向正交的平面邊界上，通過傅里葉變換（FT）分解成一組平面波 XI4le=^EM  
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(2) TLBIM  
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是初始平面邊界上的橫向位置向量，是

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對應(yīng)的空間頻率矢量。用

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表示的平面波通過與傳播因子相乘，在距離z上傳播 In[!g  
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(3) {8!\aYI  
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表示折射率為n的均勻介質(zhì)中的波數(shù)，c為光的真空速度。最后，利用逆傅里葉變換將所有平面波疊加，從而得到SPW傳播算子， a&'!
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(4) Gr1WBYK  
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從物理角度來看，SPW算子對任何傳播距離z和任何空間頻率矢量k[5]都是有效的。然而，對于長的傳播距離，采樣公式（4）的數(shù)值工作量太大。對于非傍軸場，它包含高頻分量，數(shù)值工作量將變得更高。圖1示意性地示出了由于快速增長的數(shù)值工作量而導(dǎo)致的SPW算子的有限范圍。 j_3X 1w)k  
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一篇文獻(xiàn)中報道了兩個近似公式（4），以克服這一局限性。在這兩種情況下，即菲涅耳和遠(yuǎn)場積分，使用近似來分離球面相位項與積分的數(shù)值計算，并且球面相位項是被解析地處理的。這就大大減少了數(shù)值計算的工作量。然而，由于這些近似，兩種解決方案的適用性受到限制。菲涅耳積分[11]使用空間頻率分量的泰勒展開。用這種方法，將式（3）的球面相位函數(shù)替換為拋物線相位函數(shù)，從而得到式（4）中逆傅里葉變換積分的半解析解。如圖1所示，該概念僅適用于具有低空間頻率的傍軸場。對于長傳播距離z，可以應(yīng)用遠(yuǎn)場積分[5]，其中公式（4）的逆傅里葉變換積分可以用固定相位的想法來半解析地求解。 {LwV&u(  
KdBE[A-1^M  
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由于普通的自由空間傳播算子使用范圍的限制，先進(jìn)的傳播技術(shù)的發(fā)展對于非傍軸場追跡是必不可少的。這些技術(shù)應(yīng)覆蓋圖1中剩余的白參數(shù)空間，并在精度和數(shù)值計算之間取得最佳折衷。文獻(xiàn)[2,3,12-14]中有幾種方法。然而，這個問題的一般解決辦法仍不清楚。在實踐中，非傍軸諧波場振幅出現(xiàn)了采樣問題，其中部分包含強而光滑的相位項

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數(shù)學(xué)表達(dá)式為 \Zpg,KOT  
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(5) K2'Il[  
在這項工作中，我們將開發(fā)非傍軸場的自由空間傳播技術(shù)，包含不同類型的平滑相位項。圖2顯示了四個光滑相位項的例子，它們起源于光學(xué)裝置中的不同元件。例如，球面相位項是由光通過透鏡系統(tǒng)的躍遷引起的。在第3節(jié)中，我們將介紹一個嚴(yán)格的傳播算子，它允許對球相項進(jìn)行分析處理。之后，我們將在第4節(jié)討論一個改進(jìn)的SPW算子。這使得能夠?qū)�線性相位項進(jìn)行分析處理，線性相位項通常出現(xiàn)在具有任何光偏轉(zhuǎn)的光學(xué)建模中，例如通過組件的傾斜。在第5節(jié)中，利用第3節(jié)和第4節(jié)的思想，導(dǎo)出了一個半解析SPW算子，它可以同時解析地處理線性和球形相位項。柱面和像散平滑相位項的存在是相當(dāng)普遍的，例如在半導(dǎo)體激光器的激光束整形元件中。在第6節(jié)中，我們將推廣使用偏微分方程半解析處理光滑相位項的概念。所有操作的評估都是通過一些實際的模擬來完成的。 *B$$6'hi`  
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三. 半解析SPW算子 OMl<=;^:|  
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首先，我們將導(dǎo)出包含光滑球面相位項的場的半解析傳播算子。在1989年 MurSuriPur[6]中擴展了經(jīng)典的菲涅耳傳播概念，超過了近軸情形。因此，首先推導(dǎo)了Mansuripur的傳播算子。之后，為了進(jìn)一步提高算子的計算性能，引入了拋物線擬合法，并將其數(shù)值效率與基于SPW的傳播技術(shù)進(jìn)行了比較。討論僅限于可傳播波，在這種方法中，必須忽略倏逝波，這對于z遠(yuǎn)大于λ是有效的。從第1節(jié)中的SPW傳播算符開始，等式（3）中的球相函數(shù)可以嚴(yán)格地寫成泰勒級數(shù)， 12D>~#J  
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在數(shù)字上更方便。代替了方程（2）和（4）中的兩個FFT, 這兩個FFT被用于處理標(biāo)準(zhǔn)SPW算子中數(shù)值工作量的巨大光場，修改后的算子執(zhí)行三個簡單的FFT。盡管如此，一個額外的FFT步驟是必要的：二次相位項的解析處理。式（15）導(dǎo)致新算符的數(shù)值性能提升。與SPW傳播算子相反，增大的傳播距離主要是給半解析SPW算子引入一個慢振蕩相位項。這種較慢的相位振蕩可以減少采樣工作。 然而，在等式（8）中由高階相位函數(shù)

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引起的相位振蕩仍會隨著距離的增加能變大。Mansuripur[6]在其工作中已經(jīng)提到，通過對kz使用更方便的拋物線擬合方法，而不是如等式（6）中的泰勒展開，可以顯著減少高階的影響。根據(jù)抽樣原理[15]，我們不應(yīng)關(guān)注不是高階函數(shù)本身而是其梯度

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的最大絕對值。通過最小化其梯度

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最大值以達(dá)到最佳的數(shù)值效果。 基于這一思想，Mansuripur在其出版物[6]的附錄A中提出了一種先進(jìn)的擬合方法。然而，它只是優(yōu)化拋物線的斜率，而不是頂點偏移。此外，這項技術(shù)還需要解一個方程，包括不同指數(shù)的冪函數(shù)，這只能用數(shù)值方法來實現(xiàn)。 一種拋物線擬合方法可以得到更強大的分析方法，van der Avoort等人使用了這種方法[7]在完全不同的背景下。據(jù)此，球相函數(shù)可以寫成 _4Ciai2Ql  
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相對于最大空間頻率Kmax的絕對值進(jìn)行歸一化。式（17）的兩個擬合參數(shù)由[7]得到 ^lI>&I&1  
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圖3(a)說明了用泰勒展開式的前兩個項（式（6）、式（17）的Avoort擬合和Mansuripur的擬合技術(shù)對kmax的一維例子的球面相位函數(shù)的擬合。相應(yīng)的高階相位函數(shù)；如圖3（b）所示。在這里，Avoort擬合的特征是最小化梯度的曲線，這使得所有高階相位函數(shù)的影響最小。因此，Avoort擬合能做到在公式（8）中僅需求對修改后的角譜進(jìn)行最小努力的采樣。請注意，在低空間頻率情況下的不完全Avoort擬合與采樣無關(guān)，因為它的梯度很小。與Mansuripur擬合相比，本文給出了Avoort擬合的解析表達(dá)式。 KOYU'hw  
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到目前為止，由式（3）的球形傳播核引起的球面相位項用式（21）進(jìn)行了解析處理。通常情況下，對于直徑較小，因而發(fā)散較大的場，球面?zhèn)鞑ズ说牟蓸诱贾鲗?dǎo)地位。接下來，我們轉(zhuǎn)向光場，在傳播之前，光場已經(jīng)有了一個很強的球面相位。例如，這出現(xiàn)在透鏡系統(tǒng)的出射光瞳中。在這種情況下，初始諧波場包含一個強球形相位，并且可以有效地利用半解析SPW傳播算子對球相項的數(shù)值傳播進(jìn)行反演。為此，公式（21）重新排列為 A*B表示卷積積分 \dB)G<_  
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