我們提出了一種處理
傅里葉變換的方法，其并不需要
二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時也給出了幾個例子證明其潛力。
Cm"7 f !(# tv 7"4$T 1.簡介
q).[" fSV /?Y]wY 物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場和磁場分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速
物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。
<zWMTVaC [X"pOz 2.理論
AW <"3 !@ 2.1 場的表征：提取二次相位
eQU~A9 4K(oOxc9. 我們從空間域的符號開始，在本文中我們使用符號
對應(yīng)6個場分量，也就是V = (E, H)：
%y|L'C,ge" )R^ &u`k 
(1)
X#Sgf|$ 在公式1中，我們假設(shè)場
有兩部分：
衍射場
和一個平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場
。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：
]tx/t^&/\u E=#
O|[= 
(2)
顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場
比余項(xiàng)場需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過FFT且無二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。
$ n= w <ebC]2j8cK 2.2.半解析傅里葉變換
P
y!$r *8Kx y@ 從卷積定理可知：
7R7e3p,K ?#~km0~F) 
(3)
"$#<+H>O 通常來說，項(xiàng)
必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)
角度[2]我們可知：
snicVzvA OK" fFv 
(4)
ua!43Bp 適用于任何復(fù)
，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
Ib(G!oO:E- 在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來：
/T< ))@$ 
(5)
其中：
&d ky_ H 
(6)
其中常數(shù)項(xiàng)
。
i4}+n^oSYo 將公式5帶入公式3，通過改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)
可以表示為：
-P:o ^_)g 
(7)
其中：
qYP;`L}o# 
(8)
這里，
和坐標(biāo)項(xiàng)
。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場的FFT可被兩個余項(xiàng)場的FFT替代。
lj /IN[U/ f=hT
