西安光機(jī)所在非線性物理前沿理論研究方面獲進(jìn)展

近日，中國科學(xué)院西安光學(xué)精密機(jī)械研究所副研究員曾健華團(tuán)隊(duì)等在分?jǐn)?shù)衍射系統(tǒng)中的非線性波局域理論研究方面取得進(jìn)展，研究成果以Localized modes in nonlinear fractional systems with deep lattices為題，在線發(fā)表于Advanced Theory and Simulations。

從高等數(shù)學(xué)中可知，積分學(xué)（也叫整數(shù)積分）是一種關(guān)于整數(shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的普遍形式理論。而于半個(gè)世紀(jì)前在數(shù)學(xué)中首先提出的“分?jǐn)?shù)積分”，顧名思義，就是關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分和導(dǎo)數(shù)的理論。近年來，隨著物理學(xué)前沿研究的深入和發(fā)展，分?jǐn)?shù)積分不再是“束之高閣”的數(shù)學(xué)理論，而可以用來描述實(shí)際的物理情景，比如在量子力學(xué)、光學(xué)、量子物理（含超冷原子）和凝聚態(tài)物理中的一些動(dòng)力學(xué)特性都可以用具有分?jǐn)?shù)衍射項(xiàng)的理論模型描述。在經(jīng)典的量子力學(xué)中，描述粒子擴(kuò)散的基本方程由基于布朗運(yùn)動(dòng)的費(fèi)曼路徑積分理論描述（整數(shù)階積分）；然而，對(duì)于非布朗運(yùn)動(dòng)路徑，相應(yīng)的本征方程變成分?jǐn)?shù)階積分的擴(kuò)散方程。值得一提的是，加拿大科學(xué)家Nick Laskin在本世紀(jì)初研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)費(fèi)曼路徑積分中的布朗運(yùn)動(dòng)軌跡由“隨機(jī)行走”軌跡代替時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)完全由空間分?jǐn)?shù)衍射薛定諤方程描述�；诖税l(fā)現(xiàn)，Nick Laskin發(fā)展了“分?jǐn)?shù)量子力學(xué)”理論，并于2018年發(fā)表了著作Fractional quantum mechanics。

曾健華團(tuán)隊(duì)近年來在在分?jǐn)?shù)衍射介質(zhì)中激光和物質(zhì)波的非線性局域理論方面取得了系列研究進(jìn)展【Opt. Lett. 44, 2661 (2019); Non. Dynamics 98, 985(2019)；Ann. Phys.(Berlin) 532, 1900385 (2020) ; Chaos 30, 063131(2020); Commu. Phys. 3,26(2020); Chaos, Solitons & Fractals 140, 110271(2020)】，揭示了豐富的局域模結(jié)構(gòu)和非線性物理。然而，目前所有關(guān)于含周期勢的分?jǐn)?shù)衍射系統(tǒng)中的非線性理論都是局限于淺晶格或中度調(diào)制晶格，而關(guān)于深晶格情況下的非線性波局域理論尚未見報(bào)道。

周期結(jié)構(gòu)中的非線性波動(dòng)力學(xué)方程通常由兩種方法描述：耦合模方程組和離散形式的非線性薛定諤方程。然而這兩種方法都存在局限性，前者只能描述淺晶格，后者只能描述深晶格且僅適用于位于第一帶隙的非線性波局域情形。本質(zhì)上，緊束縛近似下的離散形式只能采用二次量子化下的瓦尼爾態(tài)函數(shù)描述最近鄰勢阱中的粒子耦合，而從第一性原理出發(fā)的連續(xù)性非線性薛定諤方程可以描述所有情形（非局域空間衍射項(xiàng)、多個(gè)勢阱間的量子隧穿、高階帶隙等）。

研究團(tuán)隊(duì)從平均場近似下的連續(xù)性方程出發(fā)，系統(tǒng)性研究了囚禁于深晶格中的超冷原子非線性局域模的產(chǎn)生、特點(diǎn)和穩(wěn)定性情況，重點(diǎn)探討了在自散焦三階非線性（對(duì)應(yīng)于光學(xué)中的克爾效應(yīng)）作用下位于第一帶隙和第二帶隙的帶隙孤子和帶隙渦旋的物理特性。理論上推導(dǎo)了歸一化的動(dòng)力學(xué)方程，借助托馬斯-費(fèi)米近似方法得出了物質(zhì)波局域模的近似解析解，獲得了（形成帶隙孤子的）冷原子個(gè)數(shù)與化學(xué)勢、衍射系數(shù)之間的依賴關(guān)系；計(jì)算結(jié)果表明，這些理論與數(shù)值結(jié)果能較好地吻合，揭示了深晶格具有強(qiáng)局域特性的物理機(jī)制（圖1），線性衍射關(guān)系圖顯示其線性布洛赫能帶是極平帶，此時(shí)物質(zhì)波群速度接近為0，因此絕大部分原子就被局域在最小晶格周期內(nèi)。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，由于這一強(qiáng)局域特性，囚禁于深晶格的帶隙孤子緊緊束縛在單晶格周期內(nèi)（圖2），這與自聚焦離散模型中分布于數(shù)個(gè)晶格周期內(nèi)的離散孤子結(jié)果完全不同。通過線性穩(wěn)定性分析和含微擾的直接數(shù)值模擬方法，研究發(fā)現(xiàn)帶隙孤子和帶隙渦旋都具有極好的“魯棒性”。既往文獻(xiàn)報(bào)道認(rèn)為囚禁于淺晶格的不穩(wěn)定局域模會(huì)快速坍塌，該團(tuán)隊(duì)研究發(fā)現(xiàn)在深晶格背景下，不穩(wěn)定的局域模在演化過程中不會(huì)發(fā)生坍塌現(xiàn)象，只是在近鄰晶胞產(chǎn)生旁瓣，因?yàn)榇藭r(shí)相鄰晶格周期內(nèi)只存在較弱的量子隧穿效應(yīng)（圖3）。

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圖1 （a）二維實(shí)空間中深晶格局域超冷原子示意圖；（b）隨衍射系數(shù)變化的線性能帶結(jié)構(gòu)變化圖；（c）對(duì)應(yīng)二維動(dòng)量空間中的簡約布里淵區(qū)和高對(duì)稱點(diǎn)；（d）淺晶格（藍(lán)色虛線）和深晶格（黑色實(shí)線）情況下的線性衍射關(guān)系

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圖2 （a）囚禁于深晶格中的物質(zhì)波帶隙孤子的原子數(shù)與化學(xué)勢的關(guān)系圖（藍(lán)色虛線為托馬斯-費(fèi)米近似解析結(jié)果）；（b）原子數(shù)與衍射系數(shù)的關(guān)系圖；（c, d, e）僅局限于單晶格周期內(nèi)的帶隙孤子