近日，中國(guó)科大幾何與物理研究中心創(chuàng)始主任陳秀雄教授在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得重要“里程碑式結(jié)果”。他與合作者程經(jīng)睿完成的關(guān)于一類四階完全非線性橢圓方程的先驗(yàn)估計(jì)和凱勒流形上有關(guān)卡拉比極值度量若干著名猜想的兩篇論文先后發(fā)表在國(guó)際著名雜志 Journal of American Mathematical Society上。論文解決了若干有關(guān)凱勒流形上常標(biāo)量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問(wèn)題，包括長(zhǎng)期未決的強(qiáng)制性猜想和測(cè)地穩(wěn)定性猜想，將對(duì)幾何和偏微分方程的研究產(chǎn)生重要的影響。同行專家評(píng)論，上述工作“屬于凱勒幾何里最重要結(jié)果中的上乘之作”“必將成為幾何和分析兩個(gè)領(lǐng)域經(jīng)典”。 z6>ZV6(d2^  
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美國(guó)數(shù)學(xué)家克勞德·勒布潤(rùn)評(píng)價(jià)“該系列論文是復(fù)微分幾何領(lǐng)域一個(gè)非凡的、根本的、完全出乎意料的進(jìn)展。這些卓越的工作應(yīng)該會(huì)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域包括與復(fù)微分幾何相去甚遠(yuǎn)的領(lǐng)域產(chǎn)生影響�！狈▏�(guó)科學(xué)院院士吉恩-皮埃爾·德瑪依認(rèn)為“他們的結(jié)果看來(lái)是對(duì)當(dāng)代復(fù)微分幾何一個(gè)極其重要的貢獻(xiàn)�！泵绹�(guó)科學(xué)院院士布萊恩·勞森評(píng)價(jià)道“陳和程最近的系列論文令人驚嘆，誠(chéng)為該領(lǐng)域一個(gè)實(shí)質(zhì)性的突破。他們做出的先驗(yàn)估計(jì)前所未見(jiàn)，乃絕佳力作，并在此估計(jì)的基礎(chǔ)上，獲得了一系列重要結(jié)果�！� }FdcbNsP  
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凱勒流形上的常標(biāo)量曲率度量的存在性是過(guò)去六十多年來(lái)幾何中的核心問(wèn)題之一，它的研究吸引了幾代杰出的幾何分析學(xué)家。關(guān)于其存在性，有三個(gè)著名的猜想——穩(wěn)定性猜想、強(qiáng)制性猜想和測(cè)地穩(wěn)定性猜想。穩(wěn)定性猜想限制在凱勒-愛(ài)因斯坦度量時(shí)稱為丘成桐猜想，由丘成桐于上世紀(jì)九十年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。強(qiáng)制性猜想和測(cè)地穩(wěn)定性猜想中的必要性，經(jīng)過(guò)最近二十多年眾多著名數(shù)學(xué)家的工作，已變得完全清晰。然而，其充分性的證明在陳-程的工作之前被認(rèn)為是遙不可及的。 Xk9r"RmiOb  
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常標(biāo)量曲率度量的存在性可轉(zhuǎn)化成一類四階完全非線性橢圓方程解的存在性。陳-程的工作恰恰就是在K-能量強(qiáng)制性或測(cè)地穩(wěn)定性的假設(shè)下證明這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，長(zhǎng)期以來(lái)業(yè)內(nèi)專家普遍不相信會(huì)有一個(gè)令人滿意的存在性理論。在陳-程的工作前，對(duì)此類方程幾乎沒(méi)有合適的處理工具。陳-程最重要的突破是給出了這類方程的先驗(yàn)估計(jì)以及成功實(shí)現(xiàn)了陳秀雄教授提出的新的連續(xù)參數(shù)的策略。菲爾茲獎(jiǎng)得主西蒙·唐納森爵士評(píng)價(jià)“他們的工作已經(jīng)提供了眾多常標(biāo)量曲率凱勒度量的新例子，毫無(wú)疑問(wèn)也將成為完全認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)�！� 7.1E mJ  
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此外，陳-程的文章中還有許多其它突破性的結(jié)果。例如，他們給出了環(huán)對(duì)稱凱勒流形上 穩(wěn)定性猜想的證明，將唐納森在環(huán)對(duì)稱凱勒曲面上的經(jīng)典定理推廣到了高維。關(guān)于一般穩(wěn)定性猜想的證明，兩位作者在文章中提出了一系列深刻的問(wèn)題和可能的解決方案。盡管還有諸多困難需要克服，專家們相信穩(wěn)定性猜想的完全解決已成為可能。在文章的預(yù)印本公開(kāi)后的兩年里，已經(jīng)出現(xiàn)了一系列重要進(jìn)展。 >|o9ggL`J5  
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陳秀雄教授近年來(lái)在偏微分方程和復(fù)幾何領(lǐng)域取得了一系列重要進(jìn)展，改變了該領(lǐng)域的面貌。除了此次完成的重要成果外，他與王兵合作證明了法諾凱勒里奇流極限的弱緊性, 繼而與孫崧和王兵合作證明了極限的唯一性，并給出了丘成桐猜想的一個(gè)基于凱勒里奇流的新證明。值得一提的是，陳教授這次的合作者程經(jīng)睿在完成這項(xiàng)工作時(shí)博士尚未畢業(yè)， 其研究潛力可見(jiàn)一斑。 Z?j='/u>@  
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論文鏈接：https://www.ams.org/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00967-0/home.html c%,6L