我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。
0BrAgv"3a_ B1i&HoGbz 1.簡(jiǎn)介
<44A*ux d:8c}t2X 物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速
物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場(chǎng)分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場(chǎng)分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。
GV0-"9uwX~ Ku`u%5< 2.理論
`M[o.t 2.1 場(chǎng)的表征：提取二次相位
~A@HW!*Z@ wfQ^3HL 我們從空間域的符號(hào)開始，在本文中我們使用符號(hào)
對(duì)應(yīng)6個(gè)場(chǎng)分量，也就是V = (E, H)：
uD4j .% qAW?\*n5N &>A<{J@VL 
(1)
]x5+v0 在公式1中，我們假設(shè)場(chǎng)
有兩部分：
衍射場(chǎng)
和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對(duì)于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場(chǎng)
。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：
SIZZFihcYh v%@)I_6[P 
(2)
顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場(chǎng)
比余項(xiàng)場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過(guò)FFT且無(wú)二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V(ρ)的傅里葉變換。
qV5l v-p N~|Z@pU" 2.2.半解析傅里葉變換
-]Y@_T.C p6X-P%s 從卷積定理可知：
$*+IsP! +SNjU"x 
(3)
Yfr4< ;% 通常來(lái)說(shuō)，項(xiàng)
必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)
角度[2]我們可知：
Mq jdW e+<'=_x { 
(4)
"'74GY8, 適用于任何復(fù)
，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
S eh(G 在該數(shù)學(xué)工具的幫助下，項(xiàng)κ[exp(iψ(ρ))]的解析表征可以推導(dǎo)出來(lái)：
=/Ph ]f9 
(5)
其中：
2 9#jKh 
(6)
其中常數(shù)項(xiàng)
。
-dS@ l'$ 將公式5帶入公式3，通過(guò)改變卷積和傅里葉變換積分的階次，我們發(fā)現(xiàn)
可以表示為：
):lH 
(7)
其中：
~@$ RX: p 
(8)
這里，
和坐標(biāo)項(xiàng)
。公式7-8是半解析傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。它表示全場(chǎng)的FFT可被兩個(gè)余項(xiàng)場(chǎng)的FFT替代。
.$] -::& fj97_Q= 3.數(shù)值
仿真 W1_.wN$,5 1ne3CA= 這些概念在物理光學(xué)建模和設(shè)計(jì)軟件Wyrowski
VirtualLab Fusion[3]中實(shí)現(xiàn)。
hQ ( 84u .'PS L 3.1.有效性測(cè)試1：純二次相位
CUnBi?
