2.1麥克斯韋方程組 ho)JY
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光是電磁波，它具有電磁波的通性，因此，光波在光柵中傳輸?shù)囊恍┗拘再|(zhì)都可以從電磁場(chǎng)的基本方程推導(dǎo)出來(lái)，這些方程就是麥克斯韋方程組[6] GY %$7
(2.1.1) ..k8HFz>"
(2.1.2) azNv(|eeJL
(2.1.3) #z70:-`.[M
(2.1.4) H+5+;`;
(2.1.5) Y@< j vH1
(2.1.6) $iMLT8U
在上式中， E——電場(chǎng)強(qiáng)度 ~{);Ab.9+
H——磁場(chǎng)強(qiáng)度 #qUGc`
D——電位移矢量 ._t1eb`m{
B——磁感應(yīng)強(qiáng)度 T@`Al('
ε——介質(zhì)介電常數(shù) ,t;US.s([.
μ0——介質(zhì)磁導(dǎo)率 I-1N Zgv
——矢量微分算子 ?RIf0;G
由于我們研究的是光波在光柵中的傳輸問(wèn)題，因此有μ=μ0，ρ=0，因而 ，J=0. CW/<?X<!n
麥克斯韋方程只給出場(chǎng)和場(chǎng)源之間的關(guān)系，即 ， ， ， 之間的相互關(guān)系.為了求出光波在光柵中的傳播規(guī)律，應(yīng)進(jìn)一步求出每一個(gè)量隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律，也就是從麥克斯韋方程組中求解 ， 諸量隨時(shí)、空的變化關(guān)系. y"ss<`Cn
對(duì)于ε為常數(shù)和 或ε不為常數(shù)，但 ，從麥克斯韋方程組可以推導(dǎo)出波動(dòng)方程 ： k.jBu
(2.1.7a) : bi(mX7t
(2.1.7b) K3UN#G)U
在頻域中，所有的場(chǎng)量都是以角頻率ω振蕩的正弦量，因而上式波動(dòng)方程可化為(亥姆霍茲方程)： sekei6#fi
(2.1.8a) nz'6^D7`r
(2.1.8b) _<DOA:'v
2.2 光柵的衍射理論 m2YsE
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嚴(yán)格的光柵分析理論可以分成兩大范疇[7]: 積分方法和微分方法, 積分方法比較適合于分析連續(xù)面形 (面形可以用單一連續(xù)函數(shù)表示)光柵的衍射特性, 而微分方法比較適合于分析不連續(xù)、 離散面形 (面形要用分段函數(shù)表示)光柵的衍射特性 ，相對(duì)來(lái)講, 積分方法要比微分方法更多數(shù)學(xué)工具 , 在微分方法中光柵的模式理論和耦合波理論是最常用 . 1M o h a ram和 Gay lo rd 最早將嚴(yán)格的二階耦合波理論 (中間推導(dǎo)沒(méi)有近似或忽略), 應(yīng)用于平面光柵 , 嚴(yán)格的耦合波理論因其直觀,, 易于計(jì)算、 準(zhǔn)確等特點(diǎn)而被人們所采用1 ,但二階耦合波理論對(duì)于 T E模和 TM模要采用不同的公式進(jìn)行計(jì)算 , 而一階耦合波理論對(duì)于 T E模和TM�？刹捎孟嗤墓�, 因此一階耦合波理論要比二階耦合波理論更有意義. 1M 1C 1Gup ta 曾采用光柵的模式理論對(duì)矩形位相光柵進(jìn)行過(guò)分析 , 但是光柵的周期和溝槽深度都比較小,M o h a ram 和Gay lo rd 曾采用一階耦合波方法對(duì)平面光柵的衍 射特性進(jìn)行了分析 .標(biāo)量衍射理論是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化和近似的理論，其最主要的特點(diǎn)是把光當(dāng)作標(biāo)量現(xiàn)象來(lái)處理，即只考慮電場(chǎng)或磁場(chǎng)的一個(gè)橫分量的標(biāo)量振幅，而假定任何別的有關(guān)分量都可以用同樣的方式獨(dú)立處理，其主要適用于矩形位相光柵的特征尺寸遠(yuǎn)大于入射光波長(zhǎng)的情況；矢量衍射理論是在沒(méi)有近似的情況下分析矩形位相光柵衍射問(wèn)題的嚴(yán)格理論，它充分考慮了電磁場(chǎng)的矢量特性，通過(guò)在一定的邊界條件上嚴(yán)格地求解麥克斯韋方程來(lái)分析衍射問(wèn)題，具有普適性，主要適用于矩形位相光柵的特征尺寸接近甚至小于入射光波長(zhǎng)，即達(dá)到亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的情況[8~12].本文將標(biāo)量衍射理論應(yīng)用到矩形位相光柵，采用透過(guò)率函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)和復(fù)振幅的傅里葉變換方法對(duì)矩形位相光柵的衍射特性進(jìn)行詳細(xì)的分析 .
